KMO2025 高等部 1次審査第1問証明

数学

2025.10.222025.11.01

2025年に行われた第39回韓国数学オリンピック高等部1次審査の第1問の証明を書いてみました．

問題

問題．
三角形$ABC$の辺$BC$上に点$D$，辺$AC$上に点$F$がある．直線$AD$と$BF$が点$E$で交わる．$\overline{BD}=2\overline{DC}$であり，$\overline{AE}=\overline{ED}$のとき，$6(\frac{\overline{BE}}{\overline{EF}}+\frac{\overline{AF}}{\overline{FC}})$の値を求めよ．

Fig.1 与えられた図形

証明

三角形$ADC$と直線$BF$についてメネラウスの定理より，

$$\begin{align}
\frac{\overline{ED}}{\overline{AE}} \times \frac{\overline{BC}}{\overline{DB}} \times \frac{\overline{FA}}{\overline{CF}} &= 1 \\
\frac{1}{1} \times \frac{3}{2} \times \frac{\overline{AF}}{\overline{FC}} &= 1 \\
\frac{\overline{AF}}{\overline{FC}} &= \frac{2}{3} \tag{1}
\end{align}$$

三角形$BFC$と直線$AD$についてメネラウスの定理より，

$$\begin{align}
\frac{\overline{DC}}{\overline{BD}} \times \frac{\overline{AF}}{\overline{CA}} \times \frac{\overline{EB}}{\overline{FE}} &= 1 \\
\frac{1}{2} \times \frac{2}{5} \times \frac{\overline{BE}}{\overline{EF}} &= 1 \\
\frac{\overline{BE}}{\overline{EF}} &= 5 \tag{2}
\end{align}$$

(1), (2)式より，求める値は

$$\begin{align}
6(\frac{\overline{BE}}{\overline{EF}}+\frac{\overline{AF}}{\overline{FC}})&=6(5+\frac{2}{3}) \\
&=34
\end{align}$$

感想

簡単なので特に言うことはありません．