2025年に行われた第39回韓国数学オリンピック高等部1次審査の第3問の証明を書いてみました．
問題
公式サイトより抜粋，翻訳
問題．
\(1!+2!+ \dots +99!+100!\)を\(100\)で割った余りを求めよ．
証明
\(100\)を法として，
$$\begin{align}
1! &\equiv 1 \\
2! \equiv 1! \times 2 &\equiv 2 \\
3! \equiv 2! \times 3 &\equiv 6 \\
4! \equiv 3! \times 4 &\equiv 24 \\
5! \equiv 4! \times 5 &\equiv 20 \\
6! \equiv 5! \times 6 &\equiv 20 \\
7! \equiv 6! \times 7 &\equiv 40 \\
8! \equiv 7! \times 8 &\equiv 20 \\
9! \equiv 8! \times 9 &\equiv 80 \\
10! \equiv 9! \times 10 &\equiv 0
\end{align}$$
\(10!\)は\(100\)の倍数であるから，\(11!, 12!, \dots, 100!\)はいずれも\(100\)の倍数である．それゆえ，解は\(1!+2!+ \dots +8!+9!\)を\(100\)で割った余りに等しい．ゆえに，
$$\begin{align}
1!+2!+ \dots +99!+100! &\equiv 1+2+6+24+20+20+40+20+80 \\
&\equiv 13 \pmod{100}
\end{align}$$
感想
階乗の定義を知っていれば問題ないかと思われます．
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