JMO2025予選第1問証明

2025年に行われた日本数学オリンピック予選の第1問の証明を書いてみました．

問題

問題.
図のように正六角形のマスが$7$個並んでおり，それぞれのマスに$1$以上$7$以下の整数を重複のないように$1$つずつ書き込む．辺を共有して隣りあうどの$2$マスについても書き込まれた整数の和が$10$以下となるように書き込む方法は何通りあるか．

Fig.1–1

隣接してはいけない整数の組は，$(7,6),(7,5),(7,4),(6,5)$．

また，中央のマスは他のすべてのマスに隣接するので，上の組に含まれる整数は中央のマスに入ることができない．以下，$7$が入るマスを中央以外のマスに固定して議論する．

$7$が入るマスに隣接するマスを$(a)$，中央のマスを挟んで$7$が入るマスの反対側にあるマスを$(b)$，それ以外の$2$つのマスを$©$とする．

Fig.1–2

$(a)$は$7$が入るマスと隣接するので，$1,2,3$のみが入ることができる．また，$1,2,3$はどの整数と隣接してよいので，その位置は任意である．

$(b)$は$2$つの$©$と隣接するが，それらのマスには$4,5,6$が入るので，$(b)$には$2$つの整数と隣接することができる$4$が入る．$©$は$2$つの$(a)$と$(b)$に隣接するが，$5,6$はそれらのマスに入るどの整数とも隣接してよいので，任意である．

よって，それぞれのマスに整数を入れる方法は

$$3! \times 2! = 12 \text{（通り）}$$

以上の議論を$7$が入ることができる中央以外の$6$つのマスについて同様に行い，

$$12 \times 6 = 72 \text{（通り）}$$