JMO2025-11予選 第1問 証明

2025年11月に行われた第36回日本数学オリンピック予選の第1問の証明を書いてみました．

問題

公式サイトを参照

証明

\(b\)が正の整数である必要を考えて，

\(a=1, c=1\)の場合　→　\(b^2=2024\)（不適）
\(a=1, c=2\)の場合　→　\(b^2=1961\)（不適）
\(a=1, c=3\)の場合　→　\(b^2=1296\) ゆえに \(b=36\)
\(a=1, c=4\)の場合　→　\(b^2=-2071\)（不適）
\(a=2, c=1\)の場合　→　\(b^2=-1,046,551\)（不適）

上以外の正の整数\((a, c)\)の組み合わせにおいては，\(a^20+c^6\)が\(2026\)を超えるので，条件を満たすものは存在しない．

よって求める正の整数の組\((a, b, c)\)は，\((1, 36, 3)\)．