2025年11月に行われた第36回日本数学オリンピック予選の第1問の証明を書いてみました．
問題
公式サイトを参照
証明
\(b\)が正の整数である必要を考えて，
\(a=1, c=1\)の場合 → \(b^2=2024\)（不適）
\(a=1, c=2\)の場合 → \(b^2=1961\)（不適）
\(a=1, c=3\)の場合 → \(b^2=1296\) ゆえに \(b=36\)
\(a=1, c=4\)の場合 → \(b^2=-2071\)（不適）
\(a=2, c=1\)の場合 → \(b^2=-1,046,551\)（不適）
上以外の正の整数\((a, c)\)の組み合わせにおいては，\(a^20+c^6\)が\(2026\)を超えるので，条件を満たすものは存在しない．
よって求める正の整数の組\((a, b, c)\)は，\((1, 36, 3)\)．
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