2025年11月に行われた第36回日本数学オリンピック予選の第2問の証明を書いてみました．
問題
公式サイトを参照
証明
\(1 \leq n \leq 90\)の場合，\(45 < \sqrt{2026} < 46\)により，\(n \leq 45+45<\sqrt{2026}+45\)．よって，
$$\begin{align}
\sqrt{2026}n &= 45n+(\sqrt{2026}-45)n \\
&<45n+(\sqrt{2026}-45)(\sqrt{2026}+45) \\
&=45n+1 \tag{1}
\end{align}$$
また，\(45 < \sqrt{2026} < 46\)により，
$$\sqrt{2026}n>45n \tag{2}$$
(1), (2)式より，
$$[\sqrt{2026}n]=45n$$
である．これは、\(n\)で割り切れる．
\(n=91\)とすると，\(45 < \sqrt{2026} < 46\)により，
$$45n \leq [\sqrt{2026}n] < 46n \tag{3}$$
また，\(n=46+45>\sqrt{2026}+45\)だから，
$$\begin{align}
\sqrt{2026}n &= (\sqrt{2026}-45)n+45n \\
&> (\sqrt{2026}-45)(\sqrt{2026}+45)+45n \\
&= 45n+1 \tag{4}
\end{align}$$
(3), (4)式より，
$$45n+1 \leq [\sqrt{2026}n] < 46n \tag{5}$$
よって，\(n=91\)のとき\([\sqrt{2026}n]\)は\(n\)で割り切れない．
以上より，求める正の整数\(n\)は，\(n=91\)．
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