2025年11月に行われた第36回日本数学オリンピック予選の第3問の証明を書いてみました．
問題
公式サイトを参照
証明
\(BP=PQ=QE=a\)とおく．方べきの定理より，
$$\begin{align}
AP \times PC = BP \times PE = 2a^2 \tag{1} \\
AQ \times QD = BQ \times QE = 2a^2 \tag{2}
\end{align}$$
また，面積比から，
$$\begin{align}
AP : PC = 9 : 2 \tag{3} \\
AQ : QD = 9 : 3 \tag{4}
\end{align}$$
(1), (3)式から，
$$\begin{align}
\frac{2}{9}AP^2 &= 2a^2 \\
AP &= 3a \\
PC &= \frac{2}{3}a
\end{align}$$
(2), (4)式から，
$$\begin{align}
\frac{3}{9}AQ^2 &= 2a^2 \\
AQ &= \sqrt{6}a \\
QD &= \frac{\sqrt{6}}{3}a
\end{align}$$
以上より、求める\(\frac{AC}{AD}\)は，
$$\begin{align}
\frac{AC}{AD} &= \frac{AP + PC}{AQ + QD} \\
&= \frac{3a + \frac{2}{3}a}{\sqrt{6}a + \frac{\sqrt{6}}{3}a} \\
&= \frac{11\sqrt{6}}{24}
\end{align}$$
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